Mathematik

Daneben ist sie aber auch Hilfswissenschaft für viele andere Wissenschaften wie Physik, die Ingenieurwissenschaften, aber auch Wirtschaftswissenschaft und Sozialwissenschaft. Viele mathematische Themen (z.B. Fourieranalyse, Methode der kleinsten Quadrate) wurden durch nichtmathematische Aufgabenstellungen initiiert.

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen, siehe Phylogenese mathematischer Fähigkeiten.

Eine axiomatische Theorie ist eine Menge wahrer Aussagen, die aus gewissen Axiomen mit ausschließlich logischen Mitteln gefolgert wurden; genauer gesagt: eine Aussage ist genau dann »wahr«, wenn sie:

1. ein Axiom ist, oder
2. aus anderen wahren Aussagen nach gewissen Schluss- oder Deduktionsregeln abgeleitet werden kann.

Wahre Aussagen heißen Sätze der Theorie; will man einen Satz hervorheben, so nennt man ihn auch Theorem. Handelt es sich dabei um einen Hilfssatz im Rahmen einer Beweisführung, spricht man von einem Lemma. Ein Korollar ist eine Sammlung von Aussagen/Sätzen, die direkt aus einem anderen Satz folgen, wobei die Folgerung meist trivial ist. Die Ableitungen nennt man Beweise. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. (So kommt z.B. der Lambda-Kalkül ohne Definitionen aus, während natürlich jede funktionale Programmiersprache dafür Sprachmittel bereitstellen muss; entsprechendes gilt auch für Beweissysteme u.ä.)

Im Laufe der historischen Entwicklung hat sich an diesen Begriffen nichts geändert, es ist allerdings zu einer zunehmenden Präzisierung gekommen, die ihren Niederschlag in dem großen und wachsenden Feld der mathematischen Logik gefunden hat.

Wenngleich Gegenstand der Mathematik nur die Mathematik ist, so hat sie sich doch immer in engem Kontakt zu ihren Anwendungen entwickelt. Die Bildung mathematischer Modelle und die Entwicklung effizienter Rechenverfahren stehen dabei in engem Zusammenhang: muss man auf der einen Seite, vor allem am Anfang, den Gegenstandsbereich häufig stark vereinfachen, um ihn einer mathematischen Behandlung zugänglich zu machen, so gewinnt man auf der anderen Seite häufig viel effizientere Zugänge und Möglichkeiten. Im Übrigen hat sich die rein technische Seite des Rechnens, wie man weiß, zuletzt stark entwickelt.

Anwendung findet die Mathematik insbesondere in den Naturwissenschaften. Aber auch die Gesellschafts- und Geisteswissenschaften benutzen mathematische Konzepte.

Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des »rein logischen Beweisens« und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. Die Entwicklung in der Neuzeit ist erst durch die Naturwissenschaften (ab 1600), dann sehr stark durch den innermathematischen Prozess der Axiomatisierung (ab etwa 1850) und schließlich die Entwicklung der Computertechnik (ab 1930) bestimmt worden. Siehe Geschichte der Mathematik und Mathematiker.

Logik und Mengenlehre

Es war die Mengenlehre, die dies änderte. Diese hatte sich aus der Beschäftigung mit der Topologie entwickelt, genauer mit den »Paradoxien des Unendlichen« (Bernard Bolzano), wie man sie im Umgang mit den reellen Zahlen erlebte. Als man mit der Mengenlehre die unendlichen Mengen gemeistert hatte, war dies zugleich die Geburtsstunde einer neuen Mathematik, die sich von der Herrschaft der Zahlen und geometrischen Gebilde emanzipiert hatte. Aus dem »Paradies der Mengenlehre« (David Hilbert) wollte man sich nicht mehr vertreiben lassen.

Als sich die »naive« Mengenlehre als unhaltbar erwies, gewann plötzlich das Gebiet der mathematischen Logik jenes Interesse, das ihm von Leibniz bis Frege versagt geblieben war, und blühte rasch auf. Dabei dient die Formalisierung der Logik dem Ziel, die einzelnen Beweisschritte zu isolieren und Beweise vollständig als Folgen elementarer Operationen darstellen zu können, um diese dann mit mathematischen (z.B. arithmetischen) Mitteln (Gödel) zu untersuchen. Bei der Untersuchung axiomatischer Theorien interessiert man sich für deren widerspruchsfreien Aufbau und ihr Verhältnis zueinander.

Inzwischen haben sich vielfältige Teilgebiete und Anwendungen in und außerhalb der Mathematik herausgebildet, u.a. gehören dazu in der Informatik auch Beweissysteme.

Die Mengenlehre findet heute Ergänzung als lingua franca der Mathematik in der Kategorientheorie, die sich in den vierziger Jahren aus der algebraischen Topologie entwickelte.

Algebra

In der modernen Algebra, wie sie seit den 1920er Jahren gelehrt wird, entwickelt man ausgehend von einer Menge mit nur einer »inneren Operation« (Gruppoid oder Magma genannt) nacheinander die algebraischen Grundstrukturen der Monoide, Gruppen, Ringe und Körper, die allgegenwärtig sind, unter anderem, weil die verschiedenen Zahlmengen solche Strukturen aufweisen. Eng verbunden sind damit Polynome und Moduln/Ideale.

Die Lineare Algebra hat Moduln als Gegenstand. Im einfachsten Fall sind dies Vektorräume, d.h. Moduln über Körpern, meistens R oder C. Dies sind die Räume der klassischen Geometrie und Analysis. Aber es gibt auch wesentlich kompliziertere Situationen. Die multilineare Algebra dehnt die Untersuchung auf das Tensorprodukt und verwandte Erscheinungen aus. Ein enger Zusammenhang besteht zur Ringtheorie und Homologischen Algebra; eine klassische Fragestellung ist die Invariantentheorie.

Die Galoistheorie ist einer der Höhepunkte der Mathematik im 19. Jahrhundert und Anfang der Körpertheorie. Ausgehend von der Frage nach der Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen untersucht sie Körperweiterungen (und erfindet dabei die Gruppentheorie).

Weitere Gebiete: Gruppentheorie, Kommutative Algebra

Topologie

Zunächst werden die Kategorie der topologischen Räume und Verfahren zu ihrer Konstruktion eingeführt. Die eng verbundenen Grundbegriffe sind »Zusammenhang«, »Stetigkeit« und »Grenzwert«. Weitere wichtige Themen sind »Trennungseigenschaften« und »Kompaktheit«. Uniforme Räume haben eine Topologie, die (in Verallgemeinerung metrischer Räume) über eine Art von Abstand definiert ist. Hier kann man Cauchy-Filter definieren und damit den Begriff der Vollständigkeit und die Methode der Vervollständigung eines topologischen Raumes.

Topologische Gruppen, Ringe und Körper sind die entsprechenden algebraischen Objekte (sh. oben), die zusätzlich mit einer Topologie versehen sind, bezüglich derer die Verknüpfungen (d.h. bei Ringen und Körpern Addition und Multiplikation) stetig sind. Ein historisch und praktisch wichtiges Beispiel sind die reellen Zahlen: sie werden durch Vervollständigung der rationalen Zahlen Q bezüglich der Topologie, die vom Standardbetrag herkommt, konstruiert. Man kann jedoch auch für eine fest gewählte Primzahl p den sogenannten p-adischen Betrag einführen, dann ergibt sich als Vervollständigung der Körper der p-adischen Zahlen Q_p. Für diesen interessiert sich beispielsweise die Zahlentheorie.

Metrische Räume sind uniforme Räume, deren Topologie von einer Metrik abgeleitet ist und damit besonders übersichtlich und auch anschaulich. Daneben kennt man viele andere Klassen von Räumen.

Für Anwendungen in Analysis und Funktionalanalysis sind topologische Vektorräume grundlegend. Besonders interessant sind lokalkonvexe Räume (und ihre Dualräume), für die es eine schöne Theorie mit wichtigen Resultaten gibt.

Weitere Gebiete: Algebraische Topologie

Analysis

Drei Phänomene stehen untrennbar im Mittelpunkt der Differentialrechnung: Die Ableitung, die eine Abbildung »im Kleinen« beschreibt, die Differentialgleichung, die in etwa dasselbe mit der Bewegung im Großen tut, und das Integral, das zwischen beiden vermittelt. Die algebraisch definierten rationalen Funktionen werden um die Exponentialfunktion und ihre Verwandten und viele andere, durch Differentialgleichungen und Potenzreihen gegebene spezielle Funktionen ergänzt.

Betrachtet man Funktionen, die den komplexen Zahlkörper in sich abbilden, so drängt sich die Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit auf, die weitreichende Folgen hat. Solche Funktionen sind immer analytisch, d.h. im kleinen durch Potenzreihen darstellbar. Ihre Untersuchung heißt Funktionentheorie, sie gehört zu den großen Leistungen des 19. Jahrhunderts.

Wie man die Erdoberfläche stückweise, oder wie man sagt, »lokal« oder »im kleinen« durch ebene Karten darstellen kann, definiert man Mannigfaltigkeiten als Hausdorff-Räume zusammen mit einen Atlas aus kompatiblen Karten, die eine Umgebung eines jeden Punktes in einen gewissen Modellraum abbilden. Mit einigen zusätzlichen Annahmen hinsichtlich der Karten kann man »Analysis auf Mannigfaltigkeiten« betreiben. Heute liegt der Cartansche Differentialformenkalkül der Übertragung analytische Begriffe auf Mannigfaltigkeiten zugrunde; dabei kommt es darauf an, die neuen Begriffe »intrinsisch«, das heißt unabhängig davon zu definieren, welche konkrete Karten man zu ihrer Realisation benutzt. Für einen Großteil der Begriffe kann man das, wenngleich es nicht immer einfach ist und zu einer Reihe neuer Begriffsbildungen führt. Als ein Beispiel sei der Satz von Stokes genannt, der den Fundamentalsatz der Analysis (Satz von Barrow) verallgemeinert. Eine wichtige Rolle spielt diese Theorie in anderem Gewande, als Vektoranalysis und Ricci-Kalkül in der Physik. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind auch Gegenstand der algebraischen Topologie (vgl. de-Rham-Cohomologie und Differentialtopologie); mit zusätzlichen Strukturen sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten Thema der Differentialgeometrie.

Aus der uralten Frage nach Maß und Gewicht erwuchs erst Anfang des 20. Jahrhunderts unter Aufnahme topologischer Begriffe die Maßtheorie, die dem gegenwärtigen, sehr leistungsfähigen Integralbegriff und seinen Anwendungen zugrunde liegt, aber auch der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Ungefähr zur selben Zeit entwickelte sich aus dem Studium von Integral- und Differentialgleichungen die Funktionalanalysis als das Studium von Funktionenräumen und von deren Abbildungen Operatoren. Die ersten Beispiele solcher Räume waren die Hilbert- und Banachräume. Sie erwiesen sich als der Untersuchung mit algebraischen wie topologischen Instrumenten zugänglich, und eine umfangreiche Theorie nahm hier ihren Ursprung.

Weitere Gebiete: gewöhnliche Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Lie-Gruppen

Algebraische Geometrie

Algebraische und Differentialtopologie

Differentialgeometrie

Funktionalanalysis

Geometrie

Gruppentheorie

Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik, da sie eine Entkoppelung der Repräsentation (z. B. die reellen Zahlen) von der inneren Struktur darstellt (Gesetze für Gruppen).

Kommutative Algebra

Lie-Gruppen

Lie-Gruppen beschreiben die typischen Symmetrien in der Geometrie und der Physik. Im Gegensatz zu "nackten" Gruppen tragen sie eine topologische Struktur (genauer: sie sind eine Mannigfaltigkeit) und ermöglichen es kontinuierliche Transformationen zu beschreiben, z.B. bilden die Rotationen oder die Translationen eine solche Gruppe.

Numerische Mathematik

Die numerische Mathematik konstruiert und analysiert Algorithmen zur Lösung von kontinuierlichen Problemen der Mathematik. Waren die Algorithmen usprünglich zur Rechnung per Hand gedacht, so wird heutzutage der Computer eingesetzt. Wichtige Hilfsmittel sind dabei Approximationstheorie, Lineare Algebra und Funktionalanalysis. Es spielen vor allem Fragen der Effizienz und Genauigkeit eine Rolle, ferner müssen die auftretenden Fehler bei der Rechnung berücksichtigt werden.

Philosophie der Mathematik

Die Philosophie der Mathematik wiederum hinterfragt die axiomatischen Systeme.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

• Wahrscheinlichkeitstheorie i.e.S. (Stochastik) als Theorie stochastischer Experimente. Ziel ist es, zu einem gegebenen Experiment die Verteilung der Zufallsvariablen zu bestimmen.
• darauf aufbauend die mathematische Statistik, die, bei unvollkommener Kenntnis des Experimentes, aus gewissen Ergebnissen (einer Stichprobe) auf die zugrundeliegende Verteilung schließen will. Zwei Fragen stehen im Mittelpunkt:
  • Bestimmung von Parametern (Schätztheorie)
  • Klassifikation von Fällen (Entscheidungstheorie)

Dabei werden diese Aufgaben als Optimierungsprobleme gestellt, was für die Statistik charakteristisch ist.

Weitere Gebiete: Ergodentheorie, statistische Mechanik, Informationstheorie, Operations Research

Zahlentheorie

In der Neuzeit findet die Zahlentheorie zuerst bei Fermat erneutes und zugleich zukunftsweisendes Interesse. Gauß' Disquisitiones Arithmeticae bilden 1801 einen Höhepunkt und regen eine intensive Forschung an. Heute haben sich, entsprechend den benutzten Mitteln, zur elementaren die analytische, algebraische und geometrische Zahlentheorie gesellt. Lange galt die Zahlentheorie als (praktisch) absolut nutzlos, bis sie mit der Entwicklung der asymmetrischen Kryptographie plötzlich in den Mittelpunkt des Interesses rückte.

Unter Wikipedia:Liste mathematischer Themen gibt es eine (noch unvollständige) Auflistung aller Artikel mit mathematischem Inhalt. Dieser Artikel kann auch als "Letzte Änderungen"-Ersatz für mathematische Themen verwendet werden.

Zahlen

Natürliche Zahlen -- Ganze Zahlen -- Rationale Zahlen -- Algebraische Zahlen -- Reelle Zahlen -- Komplexe Zahlen -- Römische Zahlen -- Mathematische Konstanten -- Liste besonderer Zahlen -- Primzahlen -- Zahleneigenschaften -- Zahlennamen -- Unendlich -- π -- e

Das Veränderliche

Algebra -- Analysis -- Differentialgleichungen -- Funktion (Mathematik) -- Trigonometrische Funktionen -- Statistik -- Spezielle Funktionen -- Dynamische Systeme -- Chaostheorie-- Vektorrechnung

Mathematische Strukturen

Zahlentheorie -- Gruppentheorie -- Topologie -- Geometrie -- Lineare Algebra -- Graphentheorie

Mathematische Räume

Topologie -- Geometrie -- Trigonometrie -- Lineare Algebra -- Tensor -- Differentialgeometrie -- Abgebraische Geometrie

Diskrete Mathematik

Kombinatorik -- Mengenlehre -- Statistik -- Berechenbarkeitstheorie -- Graphentheorie -- Spieltheorie -- Kryptographie

Grundlagen und Methoden

Philosophie der Mathematik -- Intuitionismus -- Konstruktivismus -- Grundlagen der Mathematik -- Mathematik für die Schule -- Mengenlehre -- Symbolische Logik -- Modelltheorie -- Beweistheorie -- Beweismethoden -- Kategorientheorie

Angewandte Mathematik

Mechanik -- Numerik -- Optimierung -- Diskrete Mathematik -- Statistik

Bekannte Theoreme, Vermutungen und ungelöste Probleme

Satz des Pythagoras -- Großer Fermatscher Satz -- Waringsches Problem -- Goldbachsche Vermutung -- Riemannsche Hypothese -- Poincaré-Vermutung -- Primzahlzwillinge -- Vier-Farben-Problem -- Fundamentalsatz der Algebra -- Fundamentalsatz der Analysis -- Zentraler Grenzwertsatz -- Kontinuumshypothese -- Zornsches Lemma -- Gödelscher Vollständigkeitssatz -- Gödelscher Unvollständigkeitssatz

Formel- und Definitionssammlungen

Algebra -- Geometrie -- Stochastik -- Glossar mathematischer Attribute

Diverses

Phylogenese mathematischer Fähigkeiten -- Geschichte der Mathematik -- Mathematiker -- Fields-Medaille -- Die internationale mathematische Union -- Mathematikwettbewerbe -- Tabelle mit mathematischen Symbolen

siehe auch: Portal Mathematik

• PlanetMath Enzyklopädie und mehr (engl.)
• Mathematics Subject Classification (2000)
• Mathematical Atlas
• Mathematisches Lexikon
• Verzeichnis nützlicher Links zu Online-Werkzeugen und mathematischen Themen
• Nützliche Links zu mathematischen Themen
• Cornell University Library Historical Mathematical Monographs
• Darstellung von mathematischen Problemen und Lösungen - englisch